微积分（下）期末复习大纲：第六章 定积分

一、定积分的基本概念

1. 定积分的定义

定积分是积分学中的核心概念，它表示函数在某个区间上的累积效应。设函数f(x)在区间[a,b]上有定义，将区间[a,b]分成n个小区间，每个小区间的长度为Δxᵢ，在每个小区间上任取一点ξᵢ，则定积分定义为：

∫_a^b f(x)dx = lim_n→∞ Σ_i=1→n f(ξᵢ)Δxᵢ

这个定义表明定积分是黎曼和的极限，当分割越来越细时，黎曼和趋近于一个确定的值，这个值就是定积分[1,2](@ref)。

2. 定积分的几何意义

从几何角度看，定积分∫_a^b f(x)dx表示曲线y=f(x)与x轴在区间[a,b]上所围成的有向面积。当f(x)≥0时，定积分表示曲线下方的面积；当f(x)≤0时，定积分表示曲线上方的面积的负值[1,5](@ref)。

3. 定积分的存在条件

• 连续函数在闭区间上一定可积
• 有界且只有有限个间断点的函数在闭区间上可积
• 单调有界函数在闭区间上可积

二、定积分的性质

1. 线性性质

定积分具有线性性质，即对于任意常数α,β和可积函数f,g，有：

∫_a^b [αf(x)+βg(x)]dx = α∫_a^b f(x)dx + β∫_a^b g(x)dx

2. 区间可加性

对于任意c∈[a,b]，有：

∫_a^b f(x)dx = ∫_a^c f(x)dx + ∫_c^b f(x)dx

这个性质允许我们将积分区间分割成更小的部分进行计算[2,5](@ref)。

3. 比较性质

如果在[a,b]上f(x)≤g(x)，则：

∫_a^b f(x)dx ≤ ∫_a^b g(x)dx

4. 积分中值定理

设f(x)在[a,b]上连续，则存在ξ∈[a,b]，使得：

∫_a^b f(x)dx = f(ξ)(b-a)

这个定理表明连续函数在区间上的平均值等于某一点的函数值[2,5](@ref)。

三、微积分基本定理

1. 第一基本定理

设f在[a,b]上连续，定义F(x)=∫_a^x f(t)dt，则F在[a,b]上可导，且F'(x)=f(x)对所有x∈[a,b]成立。这表明积分和微分是互逆运算[6,7](@ref)。

2. 第二基本定理（牛顿-莱布尼兹公式）

设f在[a,b]上连续，F是f的任意一个原函数，则：

∫_a^b f(x)dx = F(b) – F(a)

这个公式将定积分的计算转化为求原函数在区间端点处的值之差，是计算定积分的基本工具[6,7,8](@ref)。

四、定积分的计算方法

1. 直接积分法

利用基本积分公式和牛顿-莱布尼兹公式直接计算定积分。例如：

∫₀¹ x²dx = [x³/3]₀¹ = 1/3 – 0 = 1/3

2. 换元积分法

与不定积分类似，定积分也可以通过变量替换来简化计算。需要注意的是，换元时要相应地改变积分限[1,3](@ref)。

3. 分部积分法

对于乘积形式的被积函数，可以使用分部积分公式：

∫_a^b u(x)v'(x)dx = [u(x)v(x)]_a^b – ∫_a^b u'(x)v(x)dx

五、定积分的应用

1. 平面图形的面积

• 直角坐标系：面积A=∫_a^b |f(x)-g(x)|dx
• 极坐标系：面积A=(1/2)∫_α^β [r(θ)]²dθ

2. 旋转体的体积

• 绕x轴旋转：V=π∫_a^b [f(x)]²dx
• 绕y轴旋转：V=2π∫_a^b x f(x)dx（柱壳法）

3. 平面曲线的弧长

• 直角坐标：L=∫_a^b √(1+[f'(x)]²)dx
• 参数方程：L=∫_α^β √([x'(t)]²+[y'(t)]²)dt
• 极坐标：L=∫_α^β √([r(θ)]²+[r'(θ)]²)dθ

4. 物理应用

• 变力做功：W=∫_a^b F(x)dx
• 液体压力：F=ρg∫_a^b h(x)l(x)dx
• 质心坐标：x̄=(1/A)∫_a^b x[f(x)-g(x)]dx

六、综合例题与常见错误

1. 综合例题

2. 常见错误

七、积分技巧总结

1. 对称性利用

• 奇函数在对称区间上的积分为零
• 偶函数在对称区间上的积分可以简化为半区间上的两倍

2. 分段积分

对于分段定义的函数或有绝对值的函数，需要先确定分界点，再分段积分。

3. 参数积分

对于形如∫_a^b f(x,t)dx的含参积分，可以通过对参数求导或积分来简化计算。

4. “积不出来”的情况

八、典型习题与解析