微积分（下）期末复习大纲：第五章 不定积分
一、原函数与不定积分的概念
1. 基本定义
- 原函数：如果在区间I上，F'(x)=f(x)，则称F(x)是f(x)在I上的一个原函数
- 不定积分：函数f(x)在区间I上的全体原函数称为f(x)的不定积分，记作∫f(x)dx=F(x)+C，其中C为任意常数
- 几何意义：设F(x)是f(x)的一个原函数，则方程y=F(x)的图形是f(x)的一条积分曲线。将曲线沿y轴上下移动得到积分曲线族y=F(x)+C
2. 原函数存在定理
- 连续函数一定有原函数
- 初等函数在其定义域内都有原函数（但原函数不一定是初等函数）
- 有第一类间断点的函数一定没有原函数，有第二类间断点的函数可能有原函数
3. 不定积分与微分的关系
- 微分与积分是互逆运算：
- (∫f(x)dx)’ = f(x)
- ∫F'(x)dx = F(x)+C
二、基本积分公式
1. 基本积分表
以下是必须熟记的基本积分公式：
| 积分公式 | 结果 |
|---|---|
| ∫kdx | kx + C |
| ∫xⁿdx | xⁿ⁺¹/(n+1) + C (n≠-1) |
| ∫1/x dx | ln|x| + C |
| ∫aˣdx | aˣ/lna + C (a>0,a≠1) |
| ∫eˣdx | eˣ + C |
| ∫sinx dx | -cosx + C |
| ∫cosx dx | sinx + C |
| ∫sec²x dx | tanx + C |
| ∫csc²x dx | -cotx + C |
| ∫1/(1+x²)dx | arctanx + C |
| ∫1/√(1-x²)dx | arcsinx + C |
2. 积分公式的扩展
- ∫1/(x²-a²)dx = (1/2a)ln|(x-a)/(x+a)| + C
- ∫1/√(x²±a²)dx = ln|x+√(x²±a²)| + C
- ∫tanx dx = -ln|cosx| + C
- ∫cotx dx = ln|sinx| + C
三、不定积分的性质
1. 线性性质
- ∫[k₁f(x) + k₂g(x)]dx = k₁∫f(x)dx + k₂∫g(x)dx
- ∫kf(x)dx = k∫f(x)dx（k≠0）
2. 积分与微分的关系
- d(∫f(x)dx) = f(x)dx
- ∫df(x) = f(x) + C
3. 例题解析
例题1：求∫(3x² + 2sinx – 5eˣ)dx
解：原式 = 3∫x²dx + 2∫sinxdx – 5∫eˣdx = x³ – 2cosx – 5eˣ + C
例题2：已知曲线y=f(x)在任一点x处的切线斜率为x²，且曲线过(1,2)点，求曲线方程。
解：由题意f'(x)=x² ⇒ f(x)=∫x²dx=(1/3)x³ + C
代入(1,2)：1/3 + C = 2 ⇒ C=5/3
∴ 曲线方程为y=(1/3)x³ + 5/3
四、积分方法
1. 第一类换元法（凑微分法）
基本思想：通过凑微分，将被积表达式转化为基本积分公式的形式
步骤：
- 识别被积函数中复合函数部分和其导数部分
- 进行变量代换u=g(x)
- 将积分转化为∫f(u)du的形式
- 积分后回代u=g(x)
常用凑微分公式：
- xdx = (1/2)d(x²)
- (1/x)dx = d(ln|x|)
- (1/√x)dx = 2d(√x)
- sinx dx = -d(cosx)
- cosx dx = d(sinx)
- (1/(1+x²))dx = d(arctanx)
- (1/√(1-x²))dx = d(arcsinx)
例题3：求∫x√(1+x²)dx
解：令u=1+x²，du=2xdx ⇒ xdx=(1/2)du
原式=(1/2)∫√u du = (1/3)u^(3/2) + C = (1/3)(1+x²)^(3/2) + C
2. 第二类换元法
适用情况：被积函数含有根式，无法直接凑微分
常见代换类型：
- 含√(a²-x²)：令x=asint (|t|<π/2)
- 含√(a²+x²)：令x=atant (|t|<π/2)
- 含√(x²-a²)：令x=asect (t∈(0,π/2))
- 倒代换：当分母次数比分子高2次以上时，令x=1/t
例题4：求∫1/√(x²+a²)dx
解：令x=atant，dx=asec²tdt
原式=∫(asec²t)/(asect)dt=∫sectdt=ln|sect+tant|+C=ln|x+√(x²+a²)|+C
3. 分部积分法
公式：∫udv = uv – ∫vdu
选择u的顺序（LIATE法则）：
- 对数函数(L)
- 反三角函数(I)
- 代数函数(A)
- 三角函数(T)
- 指数函数(E)
例题5：求∫x eˣdx
解：设u=x，dv=eˣdx ⇒ du=dx，v=eˣ
原式=xeˣ – ∫eˣdx = xeˣ – eˣ + C = eˣ(x-1) + C
例题6：求∫lnx dx
解：设u=lnx，dv=dx ⇒ du=(1/x)dx，v=x
原式=xlnx – ∫x·(1/x)dx = xlnx – x + C
五、有理函数的积分
1. 基本概念
- 有理函数：两个多项式之商P(x)/Q(x)
- 真分式：分子次数小于分母次数
- 假分式：分子次数大于等于分母次数（可通过多项式除法化为多项式与真分式之和）
2. 部分分式分解
步骤：
- 将分母Q(x)因式分解
- 根据分母因式确定部分分式形式
- 用待定系数法确定各系数
常见形式：
- 分母有单因式(x-a)：对应部分分式为A/(x-a)
- 分母有重因式(x-a)ⁿ：对应部分分式为A₁/(x-a) + A₂/(x-a)² + … + Aₙ/(x-a)ⁿ
- 分母有不可约二次因式(x²+px+q)：对应部分分式为(Ax+B)/(x²+px+q)
例题7：求∫(3x+5)/(x²-3x+2)dx
解：分母=(x-1)(x-2)
设(3x+5)/[(x-1)(x-2)] = A/(x-1) + B/(x-2)
解得A=-8，B=11
原式=-8∫1/(x-1)dx + 11∫1/(x-2)dx = -8ln|x-1| + 11ln|x-2| + C
六、综合例题与常见错误
1. 综合例题
例题8：求∫eˣsinx dx
解：设I=∫eˣsinx dx
分部积分两次后得到：I = (1/2)eˣ(sinx-cosx) + C
例题9：求∫1/(x³+x)dx
解：分母=x(x²+1)
设1/[x(x²+1)] = A/x + (Bx+C)/(x²+1)
解得A=1，B=-1，C=0
原式=∫1/x dx – ∫x/(x²+1)dx = ln|x| – (1/2)ln(x²+1) + C
2. 常见错误
- 忘记加积分常数C：不定积分结果必须包含+C
- 错误使用幂函数公式：∫x⁻¹dx=ln|x|+C，不能直接套用幂函数公式
- 混淆微分与积分运算：记住∫F'(x)dx=F(x)+C，而不是F'(x)
- 忽视定义域限制：如∫1/x dx在x>0和x<0分别成立
- 换元后忘记回代：使用换元法后必须将变量换回原变量
七、积分技巧总结
1. 积分的一般步骤
- 观察被积函数形式，判断适用哪种积分方法
- 优先尝试凑微分法
- 对于含根式的函数，考虑第二类换元法
- 对于乘积形式的函数，考虑分部积分法
- 对于有理函数，先进行部分分式分解
2. 特殊技巧
- 加项减项法：通过添加再减去相同项简化积分
- 乘项除项法：通过乘以再除以相同表达式简化积分
- 三角恒等变换：利用三角公式简化被积函数
- 配对积分法：对于∫eˣsinxdx、∫eˣcosxdx等类型，通过两次分部积分建立方程求解
3. “积不出来”的情况
有些初等函数的原函数不是初等函数，如：
- ∫e^(x²)dx
- ∫sin(x²)dx
- ∫(sinx)/x dx
- ∫(cosx)/x dx
八、典型习题与解析
习题1：求∫(2x³-5x²+3x-1)dx
解：原式=(1/2)x⁴-(5/3)x³+(3/2)x²-x+C
习题2：求∫(3eˣ+2sinx)dx
解：原式=3eˣ-2cosx+C
习题3：求∫x√(x+1)dx
解：令u=√(x+1)，x=u²-1，dx=2udu
原式=∫(u²-1)u·2udu=2∫(u⁴-u²)du=(2/5)u⁵-(2/3)u³+C=(2/5)(x+1)^(5/2)-(2/3)(x+1)^(3/2)+C
习题4：求∫1/(x²+4x+5)dx
解：配方：x²+4x+5=(x+2)²+1
令u=x+2，du=dx
原式=∫1/(u²+1)du=arctanu+C=arctan(x+2)+C
习题5：求∫x²cosx dx
解：两次分部积分：
设u=x²，dv=cosxdx ⇒ du=2xdx，v=sinx
原式=x²sinx-2∫xsinxdx
再对∫xsinxdx分部积分：
设u=x，dv=sinxdx ⇒ du=dx，v=-cosx
∴ 原式=x²sinx-2[-xcosx+∫cosxdx]=x²sinx+2xcosx-2sinx+C
通过以上系统的复习，学生应能掌握不定积分的基本概念、各种积分方法及其应用，为后续定积分和微分方程的学习打下坚实基础。