第九章 常微分方程（9.1-9.3）

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一、微分方程的基本概念（9.1）

1. 微分方程的定义

含有未知函数的导数或微分的方程称为微分方程。若未知函数是一元函数，则称为常微分方程；若未知函数是多元函数，则称为偏微分方程。

2. 微分方程的阶

微分方程中出现的未知函数的最高阶导数的阶数称为微分方程的阶。例如：

  • 一阶方程：y’ + 2y = ex
  • 二阶方程：y” + ω2y = 0

3. 微分方程的解

若函数y=φ(x)代入微分方程后能使方程成为恒等式，则称y=φ(x)为微分方程的解。

通解：含有独立任意常数且任意常数的个数等于微分方程的阶的解。

特解：不含任意常数的解，通常由初始条件确定。

例题1：验证y=C1cosx+C2sinx是微分方程y”+y=0的通解

解：计算y’=-C1sinx+C2cosx，y”=-C1cosx-C2sinx
代入方程：(-C1cosx-C2sinx)+(C1cosx+C2sinx)=0，恒成立，故为通解

二、一阶微分方程（9.2）

1. 可分离变量的方程

形如dy/dx = f(x)g(y)的方程，解法：

∫(1/g(y))dy = ∫f(x)dx + C

例题2：解微分方程dy/dx = 2xy2

解：分离变量得(1/y2)dy = 2xdx
积分得 -1/y = x2 + C ⇒ y = -1/(x2+C)

2. 齐次方程

形如dy/dx = f(y/x)的方程，解法：

  1. 令u=y/x ⇒ y=ux ⇒ dy/dx=u+xdu/dx
  2. 代入方程化为可分离变量形式

例题3：解微分方程dy/dx = (y2+xy)/x2

解：方程可化为dy/dx=(y/x)2+(y/x)
令u=y/x ⇒ u+xdu/dx=u2+u ⇒ xdu/dx=u2
分离变量解得 -1/u=ln|x|+C ⇒ y=-x/(ln|x|+C)

3. 线性方程

形如y’+P(x)y=Q(x)的方程，解法：

通解公式：y = e-∫P(x)dx[∫Q(x)e∫P(x)dxdx + C]

例题4：解微分方程y’+2xy=2xe-x2

解：P(x)=2x，Q(x)=2xe-x2
积分因子μ=e∫2xdx=ex2
通解y=e-x2[∫2xe-x2·ex2dx + C] = e-x2(x2+C)

4. 伯努利方程

形如y’+P(x)y=Q(x)yn（n≠0,1）的方程，解法：

  1. 令z=y1-n，化为线性方程
  2. 按线性方程方法求解

例题5：解微分方程y’+y/x=xy2

解：令z=y-1 ⇒ dz/dx=-y-2dy/dx
原方程化为 -dz/dx + z/x = x ⇒ z’-z/x = -x
通解z=e∫1/xdx[∫-xe-∫1/xdxdx + C] = x(-x + C)
还原得y=1/[x(C-x)]

三、可降阶的高阶微分方程（9.3）

1. y(n)=f(x)型

解法：连续积分n次

例题6：解微分方程y”’=6x

解：积分得y”=3x2+C1
再积分得y’=x3+C1x+C2
最后得y=(1/4)x4+(1/2)C1x2+C2x+C3

2. y”=f(x,y’)型（不显含y）

解法：

  1. 令p=y’ ⇒ p’=f(x,p)
  2. 先解一阶方程求p，再积分求y

例题7：解微分方程y”-2y’/x=x2

解：令p=y’ ⇒ p’-2p/x=x2
线性方程通解p=e∫2/xdx[∫x2e-∫2/xdxdx + C] = x2(x + C1)
积分得y=(1/4)x4+(1/2)C1x2+C2

3. y”=f(y,y’)型（不显含x）

解法：

  1. 令p=y’ ⇒ y”=dp/dx=dp/dy·dy/dx=p·dp/dy
  2. 代入方程得p·dp/dy=f(y,p)
  3. 先解一阶方程求p(y)，再分离变量求y(x)

例题8：解微分方程yy”+(y’)2=0

解：令p=y’ ⇒ y”=p·dp/dy
代入得yp·dp/dy + p2=0 ⇒ p=0 或 y·dp/dy + p=0
第一种情况：p=0 ⇒ y=C
第二种情况：分离变量得dp/p=-dy/y ⇒ ln|p|=-ln|y|+C ⇒ p=C1/y
即dy/dx=C1/y ⇒ ydy=C1dx ⇒ y2=2C1x+C2
综合得通解：y=C 或 y2=C1x+C2

四、典型习题与常见错误

习题1：解微分方程(1+x2)y’=arctanx，y(0)=0

解：分离变量得dy=[arctanx/(1+x2)]dx
积分得y=∫arctanx d(arctanx)=(1/2)(arctanx)2+C
代入初始条件得C=0 ⇒ y=(1/2)(arctanx)2

习题2：解微分方程xy’+y=y2lnx

解：化为伯努利方程：y’+y/x=(lnx/x)y2
令z=y-1 ⇒ z’-z/x=-lnx/x
通解z=e∫1/xdx[∫(-lnx/x)e-∫1/xdxdx + C] = x[-(lnx)2/2 + C]
还原得y=1/[x(C-(1/2)(lnx)2)]

常见错误：

  1. 混淆微分方程类型导致解法错误
  2. 分离变量时忽略定义域限制
  3. 积分常数处理不当
  4. 高阶方程降阶时变量替换错误
  5. 初始条件代入时机不当

通过系统掌握常微分方程的基本概念、各类方程的解法及其应用，能够为后续的数学建模和工程问题求解打下坚实基础。建议通过大量练习熟悉各类方程的解法特征，并注意验证解的正确性。


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