第七章 多元函数微积分

一、多元函数的基本概念

1. 多元函数的定义

设D是平面上的一个非空点集，如果对于D中的每一个点(x,y)，按照某种对应法则f，都有唯一确定的实数z与之对应，则称f为定义在D上的二元函数，记作z=f(x,y)。

2. 二元函数的几何表示

二元函数z=f(x,y)的图形通常是三维空间中的一个曲面。例如：

• 平面：z = ax + by + c
• 抛物面：z = x² + y²
• 双曲抛物面：z = x² – y²

3. 二元函数的极限

设函数f(x,y)在点P₀(x₀,y₀)的某去心邻域内有定义，A为常数。如果对于任意ε>0，存在δ>0，使得当0<√[(x-x₀)²+(y-y₀)²]<δ时，有|f(x,y)-A|<ε成立，则称A为f(x,y)当(x,y)→(x₀,y₀)时的极限，记作：

4. 二元函数的连续性

若lim_{(x,y)→(x₀,y₀)} f(x,y) = f(x₀,y₀)，则称f(x,y)在点(x₀,y₀)连续。

性质：

• 有界性：闭区域上连续函数必有界
• 最值定理：闭区域上连续函数必能取得最大值和最小值
• 介值定理：闭区域上连续函数可取到介于最大值和最小值之间的任何值

二、偏导数与全微分

1. 偏导数的定义

设z=f(x,y)在点(x₀,y₀)的某邻域内有定义，若极限

存在，则称此极限为f在点(x₀,y₀)处对x的偏导数，记作fₓ(x₀,y₀)或∂f/∂x|₍ₓ₀,ᵧ₀₎。

2. 高阶偏导数

二阶偏导数：

定理：若fₓᵧ和fᵧₓ在点(x₀,y₀)处连续，则fₓᵧ(x₀,y₀)=fᵧₓ(x₀,y₀)。

3. 全微分

若z=f(x,y)在点(x₀,y₀)处的全增量Δz可表示为：

其中ρ=√(Δx²+Δy²)，则称f在点(x₀,y₀)处可微，AΔx+BΔy称为全微分，记作dz。

可微条件：若fₓ,fᵧ在(x₀,y₀)处连续，则f在(x₀,y₀)处可微。

三、多元复合函数与隐函数求导

1. 多元复合函数求导法则

链式法则：设z=f(u,v)，u=u(x,y)，v=v(x,y)，则：

2. 隐函数求导

设F(x,y,z)=0确定隐函数z=z(x,y)，则：

四、多元函数的极值

1. 无条件极值

必要条件：若f(x,y)在(x₀,y₀)处可微且取得极值，则fₓ(x₀,y₀)=0，fᵧ(x₀,y₀)=0。

充分条件：设fₓ(x₀,y₀)=0，fᵧ(x₀,y₀)=0，记A=fₓₓ(x₀,y₀)，B=fₓᵧ(x₀,y₀)，C=fᵧᵧ(x₀,y₀)，Δ=B²-AC，则：

• Δ<0且A<0时，f(x₀,y₀)为极大值
• Δ<0且A>0时，f(x₀,y₀)为极小值
• Δ>0时，不是极值
• Δ=0时，无法确定

2. 条件极值（拉格朗日乘数法）

求f(x,y)在约束条件g(x,y)=0下的极值：

1. 构造拉格朗日函数L(x,y,λ)=f(x,y)+λg(x,y)
2. 解方程组：Lₓ=0, Lᵧ=0, L_λ=0
3. 判断所得点是否为极值点

五、方向导数与梯度

1. 方向导数

函数f(x,y)在点(x₀,y₀)沿方向l=(cosα,cosβ)的方向导数为：

若f可微，则∂f/∂l = fₓcosα + fᵧcosβ

2. 梯度

梯度是一个向量，定义为：

性质：

• 方向导数等于梯度在该方向的投影
• 梯度方向是函数值增长最快的方向
• 梯度的模等于最大方向导数

六、二重积分

1. 二重积分的定义与性质

设f(x,y)在有界闭区域D上有定义，将D任意分割为n个小区域Δσᵢ，任取(ξᵢ,ηᵢ)∈Δσᵢ，若极限

存在（λ为各小区域直径的最大值），则称此极限为f在D上的二重积分，记作∬_Df(x,y)dσ。

性质：线性性、区域可加性、比较定理、中值定理等。

2. 直角坐标系下的计算

若D为X-型区域：a≤x≤b，φ₁(x)≤y≤φ₂(x)，则：

类似地可定义Y-型区域并交换积分次序。

3. 极坐标系下的计算

若D的边界用极坐标表示更简单，则：

七、典型习题与常见错误